나를 위한 진동학 정리 2편 (Free Response)

 

지난시간에는 진동학에 대한 기본적인 개념들을 알아보았다.
이번시간에는 Spring-Mass System을 푸는 방법을 알아봅시다.

나를 위한 진동학 정리 -1

지난시간에 배웠던 마법의 공식을 기억해보자!

$$\therefore m\ddot{x}\left(t\right)+kx\left(t\right)=0$$

사실 지난시간에는 x 대신 y로썼지만 이는 구글에서 퍼온 이미지가 y로 되어있어서 그렇다. 이 경우는 우변의 항 F가 0인경우 즉 자유진동인 경우에만 해당된다.


나중에는 우변의 항이 0이 아닌경우 즉 Excitational Force 가 작용하는 경우를 다룰테지만 당분간은 우변의 항이 0인경우를 다룰것이다. 앞으로 위의 식이 대부분의 문제를 푸는데 기본 공식이 될 것이다.

​

Netonian Method 즉 뉴턴의 제 2법칙과 Hooke’s law과 위의 공식을 이용해서 공식을 도출해보자
​$$F_{net}=m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-kx$$

위의 kx는 스프링상수 k와 변위 x를 곱한것이다. 이를 m으로 나누면
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-\frac{k}{m}x$$

이렇게 된다. 즉

$$\therefore \ddot{x}\left(t\right)+\frac{k}{m}x\left(t\right)=0$$

이러한 방정식이 나오게 된다. 여기서 미분방정식을 이용하면 어떻게될까? 간단하게만 다루어보자.(공학수학도 다루고싶은데 시간이… ㅠㅠ)

$$y=e^{\lambda x}$$

이는 미분방정식의 기본적인 공식으로 x든 y든 오일러상수에 람다와 x를 제곱하여 만든것이다. 이를 한번, 두번 미분하여 특성방정식을 만들어주고

$$\frac{dy}{dt}=\lambda e^{\lambda t},\frac{d^{2}y}{d{t}^2}={\lambda }^2{e}^{\lambda t}$$

방정식을 풀면 람다는 두 근을 가지게 된다.

$$\lambda =\pm \sqrt{\frac{k}{m}}$$

이를 다음과 같이 쓸 수 있다.

$${\omega }_n=\sqrt{\frac{k}{m}}$$

근은 양수, 음수가 나오지만 이 근은 Frequency 즉 주파수이므로 양수로 표기한다. n이붙은 이유는 Natural Frequency 한글로 하자면 고유진동수가 나오게된다. 나중에는 Damped Natural Frequency ${\omega }_d$도 있는데 설명예정이다.

아까 저 위의 식을 2차 상미분방정식을 이용해 방정식으로 만들면

$$x(t)=c_{1}cos(\omega t)+c_{2}sin(\omega t)$$

이런 모양이 나오게 된다. 이는 두 근이 실근이므로 이 형태가 나오게된다. 물론 실근이 아니면

$$y=(A+Bt)e^{{\lambda }_{1}t},y=e^{rt}(Acos(st)+Bsin(st))$$

왼쪽은 중근인 경우, 오른쪽은 두 켤레복소근인경우로 표기해야하지만 그것은 공학수학에서 배우는것으로 하고 정리해보자면 아래와 같은 식을 도출할 수 있다.

$$x(t)=Acos(\omega t-\varphi )$$

cosine함수를 보면 무슨 생각이들까? 이는 주기함수이다!! 위 식에서 pi/2를 더하냐 빼냐에따라서 그래프가 바뀐다.

아름다운 그래프

위 그래프가 거대하므로 다시쓰자면

$$x(t)=Acos(\omega t-\varphi )$$

이러한 모양이 되는데

A : Amplitude 혹은 Maximun value 로 주기함수에서 최대값을 의미하며, 이는 이렇게 표현되며 단위는 m이다

$$A=\sqrt{c_1^2+c_2^2}$$

c1과 c2는 어떻게 구할까? 답을 구하기 위해서는 Initial Condition 즉 초기값을 알아야만한다. 보통의 Spring Mass System에서는 Initial Condition이 주어져있으므로 구하려고 애를 쓰지 않아도 된다.

$$x(t)=c_{1}cos(\omega t)+c_{2}sin(\omega t)$$

여기에서 t=0을 넣는다면 sin함수는 0이될 것이고 즉 x(t) = c1이 된다. Initial Condition을 x0, v0로 각각 표기한다면 c1 = x0가 된다.

그리고 c2는 위의 식을 미분하고 t=0한다면

$$\dot{x}(0)=\omega c_2$$
이렇게 나온다. x위에 점이 달려있다는 것은 미분했다는 표시로 변위 x를 한번 미분하면 속도, 두번미분하면 가속도가 된다. wc2 = v0가 된다는 사실을 알 수 있다. 이를 아래와 같이 바꿀 수 있다.

$$c_2=\frac{v_0}{\omega }$$

그렇다면 x(t)를 이렇게 쓸 수 있는데

$$x(t)=x_{0}cos(\sqrt{\frac{k}{m}t})+\frac{v_0}{\sqrt{\frac{k}{m}}}sin(\sqrt{\frac{k}{m}t})$$

여기서 c1자리가 x0이고 c2자리가 복잡하긴하지만 저렇다. 저것을 각각 제곱해주면 A가 나온다.

위의 식에서 삼각함수의 합성 공식을 쓴다면
$$tan\varphi =\frac{c_2}{c_1}$$
이런 공식을 취할 수 있고 여기서 탄젠트의 역수를 취한다면 위상각 파이를 얻어낼 수 있으며 단위는 [rad]이다.

필요한 A,w, pi(위상각)을 모두 얻었다. 이제 이 공식을 가지고도 natural frequency를 얻을 수 있다.

이 $tan\varphi =\frac{c_2}{c_1}$식과 두번 미분한
$$a(t)=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-A{\omega }^{2}cos(\omega t-\varphi )$$

이 식을 $\therefore m\ddot{x}\left(t\right)+kx\left(t\right)=0$ 에 넣어주면

$${\omega }^2=\frac{k}{m}$$

이게 다시나온다!! 아까 얻은 c1과 c2를 이용해서 문제를 풀어보면

$$A=\sqrt{c_1^2+c_2^2}$$
뭔가 어디서 많이 본 공식이다… 바로 피타고라스의 정리! c1 과 c2를 각각 x0와 v0/wn으로 놓게되면

$$A=\frac{\sqrt{{\omega }_n^2{x}_0^2+v_0^2}}{{\omega }_n}$$

이런 공식을 얻을 수 있고 여기로부터 위상각을 다시 얻을 수 있다.

$$\varphi =ta{n}^{-1}\frac{{\omega }_n{x}_0}{v_0}$$
이를 수식으로 정리하면

$$\begin{gathered} x\left(t\right)=A\sin \left({\omega }_{n}t+\varphi \right) \\ =\sqrt{\frac{{\omega }_n{x}_0^2+v_0^2}{{\omega }_n}}\sin ({\omega }_{n}t+{\tan }^{-1}\frac{{\omega }_n{x}_0}{v_0}) \end{gathered}$$

이렇게 나온다. 사실 근의 공식에서 루트안에 있는 것이 0보다 작냐 크냐 0이냐에따라 실근, 중근, 켤레복소근을 갖는데, 다른 경우에도 위와같은공식이 도출되지만 수식을 입력할게 매우 많으므로 생략

$$\pm x_1(t)=a_1{e}^{i{\omega }_{n}t},\pm x_2(t)=a_2{e}^{-i{\omega }_{n}t}$$

이렇게 놓고 공식을 도출하면 똑같이 나온다.

여기서 조화운동의 변위(displacement) 속도(velocity) 가속도(acceleration) 은 다음과 같은 그래프로 한꺼번에 표기할 수 있다.

그래프를 자세히 보면 v가 0인지점이 최대 혹은 최소값이 되는것을 알 수 있는데. 이는 고등학교때 배우는 이계도함수에서 배울 수 있다.

추가적으로 다음 식은 진동의 Decibel(dB) 즉 소리를 의미한다.

$$dB=10{\log }_{10}{\left(\frac{x_1}{x_0}\right)}^2=20{\log }_{10}\left(\frac{x_1}{x_0}\right)$$

$$x_0:referencesignal,x1:measuredsignal$$
다음시간에는 점성감쇠에 대한 글을 쓰겠습니다.

Written with StackEdit.